درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

مشتق یکی از مفاهیم اساسی ریاضی است که دارای کاربردهای وسیع در ریاضیات و علوم دیگر است. ایده اولیه در مورد مفهوم مشتق، به شیب یک خط مربوط می‌شود. به کمک این ایده به تدریج به‌صورت دقیق‌تری با مفهوم مشتق آشنا می‌شویم.

خط مماس بر یک منحنی

یافتن خط مماس در یک نقطه از یک منحنی مسئله‌ای تاریخی است که زمانی طولانی برای حل آن صرف شده است. مفهوم خط مماس بر یک دایره از زمان‌های گذشته مشخص بوده است. خط مماس بر دایره، خطی است که با دایره یک و فقط یک نقطه مشترک داشته باشد. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنی‌ها صادق نیست.

خط‌های ${d_1}$ تا ${d_4}$ را در نظر بگیرید. خط ${d_2}$ در نقطه $B$ و خط ${d_4}$ در نقاط $A$ و $B$ بر منحنی مماس هستند. خط ${d_1}$ در نقطه $A$ بر منحنی مماس نیستند. همچنین خطوط ${d_3}$ و ${d_4}$ در نقطه $c$ بر منحنی مماس نیستند. در ادامه این درس با دلایل این امر به‌صورت دقیق‌تری آشنا خواهید شد.

اکنون سعی می‌کنیم که به کمک نمودار منحنی، خط مماس بر منحنی در یک نقطه را بررسی کنیم. نقطه ثابت $A$ را روی منحنی زیر در نظر می‌گیریم. خطی که از $A$ و $B$ می‌گذرد یک خط قاطع نامیده می‌شود. روی منحنی نقطه‌های دیگری را نزدیک‌تر به نقطه $A$ اختیار می‌کنیم و خط‌های گذرنده از $A$ و آن نقطه‌ها را رسم می‌کنیم. حدس بزنید که وقتی نقاط به‌قدر کافی به $A$ نزدیک می‌شوند، برای خط‌های قاطع چه اتفاقی می‌افتد؟ به‌عبارت دیگر خط‌های قاطع به چه خطی نزدیک می‌شوند؟

اکنون نقطه $C$ را سمت چپ نقطه $A$ اختیار می‌کنیم و خط قاطع $AC$ را رسم می‌کنیم. مانند قبل نقاط دیگری را نزدیک‌تر به نقطه $A$ اختیار می‌کنیم. حدس می‌زنید برای خط‌های قاطع چه اتفاقی می‌افتد؟ به‌طور شهودی می‌توان گفت:

شیب خط مماس بر منحنی در نقطه $A$ حد شیب خط‌های قاطع گذرنده از $A$ است به‌شرطی که نقطه‌ها به‌قدر کافی به $A$ نزدیک شوند.

در ادامه این بحث را دقیق‌تر بررسی خواهیم کرد.

اگر به همین ترتیب بازه‌های کوچک‌تری در نظر بگیریم، شیب خطوط به‌دست آمده به شیب‌خط مماس بر منحنی در نقطه $A$ می‌شود. برای درک بهتر این موضوع، با تکمیل جدول و مقایسه شیب خط‌های قاطع، شیب خط مماس را حدس بزنید.

شیب خطی که از نقاط $\left( {a,f(a)} \right)$ و $\left( {b,f(b)} \right)$ می‌گذرد. $\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$	بازه $\left[ {a,b} \right]$
$\frac{{f(2/4) - f(2)}}{{2/4 - 2}} = \frac{{\,\,\,\,\,\,\,\,}}{{}} = \frac{{\,\,\,\,\,\,\,\,}}{{}} = 5/6$	$\left[ {2,2/4} \right]$
$\frac{{\,\,\,\,\,\,\,\,}}{{}} = \frac{{\,\,\,\,\,\,\,\,}}{{}} = \frac{{\,\,\,\,\,\,\,\,}}{{}} = $	$\left[ {2,2/3} \right]$
$\frac{{f(2/2) - f(2)}}{{2/2 - 2}} = \frac{{17/16 - 16}}{{0/2}} = \frac{{1/16}}{{0/2}} = 5/8$	$\left[ {2,2/2} \right]$
$\frac{{f(2/1) - f(2)}}{{2/1 - 2}} = \frac{{16/59 - 16}}{{0/1}} = \frac{{0/59}}{{0/1}} = 5/9$	$\left[ {2,2/1} \right]$
$\frac{{f(2/01) - f(2)}}{{2/01 - 2}} = \frac{{16/0599 - 16}}{{0/01}} = \frac{{0/0599}}{{0/01}} = 5/99$	$\left[ {2,2/01} \right]$
$\frac{{f(2/001) - f(2)}}{{2/001 - 2}} = \frac{{16/005999 - 16}}{{0/001}} = 5/999$	$\left[ {2,2/001} \right]$
$\frac{{f(2/h) - f(2)}}{h} \to ?$	$\left[ {2,2 + h} \right]$ ($h$ یک عدد خیلی کوچک و مثبت است.)

اگر بخواهیم دقیق‌تر صحبت کنیم، باید در مورد مقادیر عبارت $\frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h}$ وقتی $h$ به‌قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت) است، بررسی کنیم. روند بالا این حدس را تقویت می‌کند که هر چقدر که بخواهیم می‌توانیم این مقادیر را به عدد 6 نزدیک کنیم مشروط برآنکه $h$ را به‌قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت) اختیار کنیم. به‌عبارت دیگر حدس می‌زنیم که: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$ کافی است با محاسبه مقدار حد، صحت حدس خود را بررسی کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {{(2 + h)}^2} + 10(2 + h) - 16}}{h}=$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - ({h^2} + 4h + 4) + 20 + 10h - 16}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {h^2} - 4h - \cancel{4} + \cancel{4} + 10h}}{h} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {h^2} + 6h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{h( - h + 6)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - h + 6) = 6$

به طریق مشابه می‌توان دید که اگر نقاط روی منحنی را در سمت چپ $A$ اختیار کنیم، به‌عبارت دیگر اگر بازه‌هایی مانند، $\left[ {1/5,2} \right]$، $\left[ {1/6,2} \right]$، $\left[ {1/7,2} \right]$، $\left[ {1/8,2} \right]$ و ... را در نظر بگیریم شیب خط‌های قاطع برابر با 6/5، 6/4، 6/3، 6/2، ... خواهد شد. به‌عبارت دیگر در این حالت هم شیب خط‌های قاطع به هر اندازه که بخواهیم به عدد 6 نزدیک می‌شوند، مشروط بر آنکه $h$ به قدر کافی از سمت چپ به صفر نزدیک شود، یعنی داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$

بنابراین به‌طور کلی می‌توان نوشت:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$

حد مذکور را شیب منحنی در $a$ نیز می‌نامند.

بنابراین در مثال قبل داریم $f'(2) = 6$. در ادامه $f'(3)$ برای $f(x) =  - {x^2} + 10x$ محاسبه شده است:

$f'(3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {{(3 + h)}^2} + 10(3 + h) - 21}}{h} = $

$f'(3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 9 - 6h - {h^2} + 30 + 10h - 21}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {h^2} + 4h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - h + 4) = 4$

مثال: معادله خط مماس بر منحنی تابع $f(x) =  - {x^2} + 10x$ را در نقطه $A\left( {2,f(2)} \right)$ واقع بر نمودار تابع بنویسید.

حل: با توجه به آنچه که در فعالیت قبل مشاهده شد:

$ = f'(2) = 6$ شیب خط مماس در نقطه $A$

$A\left( {2,f(2)} \right) = (2,16)$

$y - 16 = 6(x - 2) \Rightarrow y = 6x + 4$

تذکر: با نمادهای معرفی شده در فعالیت در مورد شیب خط‌های قاطع می‌توان دستورهای معادل دیگری برای محاسبه مشتق در یک نقطه به‌دست آورد، به‌طور مثال شیب خطی که از نقاط $A$ و $B$ می‌گذرد برابر است با:

${m_{AB}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}$

و از آنجا:

$f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}$

مثال: اگر $f(x) =  - {x^2} + 10x$، $f'(2)$ را از دستور بالا به‌دست آورید:

$f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - {{(2 + \Delta x)}^2} + 10(2 + \Delta x) - 16}}{{\Delta x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \cancel{4} - \Delta {x^2} - 4\Delta x + \cancel{{20}} + 10\Delta x - \cancel{{16}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta {x^2} + 6\Delta x}}{{\Delta x}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x( - \Delta x + 6)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} ( - \Delta x + 6) = 6$

محاسبه $f'(a)$ به روش دیگر

مشتق تابع $f$ در نقطه $x = a$ به‌صورت: $f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ تعریف شد. اکنون دستور دیگری برای مشتق تابع $f$ در نقطه $x = a$ می‌یابیم که در برخی محاسبات کار را ساده‌تر می‌کند.

با استفاده از نموداری مشابه نمودار (الف) برای محاسبه مشتق $f$ در $a$ داریم:

$ = {m_{AB}} = \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ شیب خط $AB$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ شیب خط مماس بر منحنی در $A$

با استفاده از نمودار (ب) راه دیگر محاسبه شیب‌خط مماس این است که نقطه دلخواه $B$ را به مختصات $\left( {x,f(x)} \right)$ در نظر بگیریم در این صورت داریم:

$ = {m_{AB}} = \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ شیب‌خط $AB$

برای محاسبه شیب‌خط مماس کافی است که $x$ را مرتباً به $a$ نزدیک کنیم. در این صورت شیب‌خط مماس برابر با $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ است مشروط بر اینکه این حد موجود باشد (واضح است که مانند قبل $x$ باید از راست و چپ به‌قدر کافی به $a$ نزدیک شود).به‌عبارت دیگر: $f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$

مثال: اگر $f(x) = {x^2}$، $f'(3)$ را به دو روش به‌دست آورید.

حل:

روش اول:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(h + 3)}^2} - 9}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{h^2} + 6h + 9 - 9}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{h^2} + 6h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{h(h + 6)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (h + 6) = 9$

روش دوم:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6$

در موقعیت‌های مختلف، ممکن است یکی از این دو روش بر دیگری به دلیل ساده‌تر بودن محاسبات برتری داشته باشد.